Notdienst schickt unbehandelt weg und stellt dies in Rechnung

Das Provisorium über meinem Implantat (Frontzähne) hatte sich gelockert und drohte zu zerbrechen.Da mein Zahnarzt im Urlaub war, ging ich zum Zahnarztnotdienst der Stadt Freiburg.
Ich (Privatpatient) meldete mich an und wartete ca. 2,5 Stunden. Als ich ins Behandlungszimmer kam, wurde mir mitgeteilt, dass dies eine Kinderzahnarztpraxis sei und sie mir nicht helfen könnten. Ich wurde unbehandelt weggeschickt mit dem Hinweis, mir einen anderen Zahnarzt zu suchen. Auf meine Frage, warum dies (Kinderz.)bei der Suche nach dem Notdienst nicht erwähnt wird, wurde mir gesagt, dass dies nicht erlaubt sei.
Sehr ärgerlich, aber als ich jetzt noch eine Rechnung in Höhe von 21,44€ für das nichtbehandelte Wegschicken bekam, konnte ich das nicht glauben. Ist das noch rechtens?